Variedad algebraica

En geometría algebraica, una variedad algebraica es esencialmente un conjunto de puntos (finito o infinito) en los cuales un polinomio (de una o más variables) toma un valor cero, o en el cual un conjunto de tales polinomios toma un valor cero. Las variedades algebraicas son uno de los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica clásica (y en ciertos aspectos moderna).

Desde un punto de vista histórico, el teorema fundamental del álgebra estableció la relación entre el álgebra y la geometría al indicar que un polinomio de una variable en los números complejos queda determinado por su conjunto de raíces, que es un objeto geométrico inherente. Construyendo sobre este resultado, el Teorema de los ceros de Hilbert establece una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos de polinomios y los subconjuntos del espacio afín. Utilizando el teorema de ceros y sus resultados asociados, es posible capturar la noción geométrica de una variedad en términos algebraicos como también hacer que la geometría entienda sobre temas de la teoría de anillos.

Las convenciones relativas a la definición de una variedad algebraica difieren ligeramente. Por ejemplo, algunas definiciones requieren que una variedad algebraica sea irreducible, lo que significa que no es la unión de dos conjuntos más pequeños que son cerrado en la topología de Zariski. Bajo esta definición, las variedades algebraicas no irreducibles se llaman conjuntos algebraicos. Otras convenciones no requieren irreducibilidad.

El teorema fundamental del álgebra establece un vínculo entre el álgebra y la geometría al demostrar que un polinomio mónico (un objeto algebraico) en una variable con coeficientes en números complejos está determinado por el conjunto de sus raíces (un objeto geométrico) en el plano complejo. Generalizando este resultado, la teorema de los ceros de Hilbert proporciona una correspondencia fundamental entre los ideales de anillos de polinomios y conjuntos algebraicos. Usando el Nullstellensatz y resultados relacionados, los matemáticos han establecido una fuerte correspondencia entre cuestiones sobre conjuntos algebraicos y cuestiones de teoría de anillos. Esta correspondencia es una característica definitoria de la geometría algebraica.

Muchas variedades algebraicas son colectores, pero una variedad algebraica puede tener puntos singulares mientras que un colector no. Las variedades algebraicas pueden caracterizarse por su dimensión. Las variedades algebraicas de dimensión uno se llaman curva algebraicas y las variedades algebraicas de dimensión dos se llaman superficies algebraicas.

En el contexto de la teoría moderna de esquema, una variedad algebraica sobre un campo es un esquema integral (irreducible y reducido) sobre ese campo cuyo morfismo de estructura está separado y es de tipo finito.